§ 16. Принцип Гюйгенса — Френеля. Дифракция света. Дифракционная решетка

Волновые процессы имеют свои специфические закономерности, которые отличают их от других физических процессов. Что это за закономерности? При каких условиях они проявляются? Как их можно использовать?

Среда называется однородной, если ее физические свойства по всему объему одинаковы во всех точках пространства. Среда называется изотропной, если ее физические свойства одинаковы по всем направлениям в пространстве.

Волновая поверхность  — это поверхность, все точки которой колеблются в одинаковых фазах, т.е. это поверхность равных фаз. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени , называется волновым фронтом (§ 5).

Волна называется круговой, если ее волновой фронт является окружностью.

Закономерности распространения волн любой природы в различных средах имеют много общего.

Для наглядности рассмотрим процесс распространения волн на поверхности воды. Волны, возбуждаемые точечным источником S, распространяются по всем направлениям с одинаковой по модулю скоростью v.

Следовательно, фронт волны будет иметь вид окружности (рис. 93, а) некоторого радиуса. Если эта волна от точечного источника будет распространяться в однородной изотропной среде, то ее волновой фронт будет иметь вид сферической поверхности.

Как видно из рисунка 93, а если в некоторый момент времени t фронт волны от источника S занимал положение abc, то через промежуток времени τ фронт займет уже положение ABC, точки которого будут удалены от начального фронта волны на расстояние l = vτ. В каждом последующем положении волновой фронт будет по-прежнему оставаться сферической поверхностью.

Общие закономерности процесса распространения волн объяснил Х. Гюйгенс, сформулировав в 1690 г. принцип, позволяющий определять положение волнового фронта через малый промежуток времени по его положению в данный момент времени. Согласно принципу Гюйгенса:
каждая точка среды, которой волновой фронт достиг в момент времени t, становится источником вторичных сферических волн. Новое положение волнового фронта через промежуток времени τ определяется огибающей волновых фронтов вторичных волн в момент времени t + τ.

Таким образом, согласно принципу Гюйгенса для нахождения положения волнового фронта через промежуток времени τ следует провести окружности радиусом l = vτ,  представляющие собой фронты вторичных волн, с центрами на фронте в положении I (см. рис. 93, б). Соответственно, огибающая волновых фронтов вторичных волн (1, 2, 3 и т. д.) определяет новое положение волнового фронта — положение II. Напомним, что огибающей называется поверхность, касательная ко всем вторичным волнам. На очень больших расстояниях от точечного источника излучаемые им волны можно считать плоскими (рис. 94).

Линия (L, M, N), перпендикулярная волновому фронту (см. рис. 93, а) в данной точке, является лучом. Луч определяет направление распространения волны, а также направление переноса энергии волной. Напри­мер, будут практически параллельными солнечные лу­чи, падающие на футбольное поле.

Принцип Гюйгенса объясняет прямолинейность распространения волн в однородной среде. Поскольку в такой среде радиусы фронтов вторичных волн (vτ) одинаковы на всех участках (рис. 94), то волновой фронт (A′B′) плоской волны с течением времени перемещается в одном и том же направлении, оставаясь параллельным своему начальному положению AB.

Однако при распространении света вблизи границ непрозрачных тел или прохождении через отверстия в непрозрачных экранах наблюдаются отклонения от закона его прямолинейного распространения. Причем отклонение существенно зависит от соотношения между длиной волны и размером препятствия. Действительно, стоя за углом дома, мы хорошо слышим, что едет автомобиль, хотя не видим его, поскольку находимся в области «тени». Таким образом, звуковые волны как бы «заворачивают за угол», в то время как световым волнам этого сделать не удается.

Явление огибания волнами непрозрачных препятствий, которое проявляется в отклонении направления распространения волн от прямолинейного, называется дифракцией (рис. 95).
Явление дифракции служит одним из подтверждений волновой природы света. Для проявления дифракции размеры препятствий (отверстий) должны быть меньше или сравнимы с длиной волны, вот почему в рассмотренном примере звук   от работающего мотора автомобиля смог «завернуть за угол», а свет ,  отраженный от автомобиля,  — нет.

Принцип Гюйгенса позволяет находить только направление распространения волнового фронта и не затрагивает вопрос об амплитуде волны, а, следовательно, и об интенсивности распространяющихся по разным направлениям волн.

Изучая дифракцию света, французский физик Огюстен Жан Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн, которые являются когерентными. Принцип Гюйгенса — Френеля позволил охарактеризовать явление дифракции количественно:
все источники вторичных волн, расположенные на волновом фронте, когерентны между собой. Для расчета амплитуды огибающей волны в данной точке пространства следует учесть интерференцию вторичных волн от всех участков волнового фронта в начальный момент времени (см. рис. 93, а).

Таким образом, согласно Френелю дифракция света объясняется интерференцией вторичных волн от различных участков волнового фронта в начальный момент времени.

Для наблюдения дифракции света используется дифракционная решетка.

Дифракционная решетка — оптический прибор, предназначенный для точного измерения длин волн и разложения света в спектр.

Дифракционная решетка состоит из большого числа равноотстоящих параллельных штрихов (щелей), нанесенных на стеклянную или металлическую поверхность. Длина решеток составляет 10—15 см. Они содержат  штрихов 10 000 — 20 000 на 1 см. Наблюдения проводятся как в отраженном свете (на металлических решетках), так и в проходящем свете (на стеклянных).

Рассмотрим дифракционную решетку, представляющую собой систему из N одинаковых равноотстоящих параллельных щелей (прозрачные участки) в плоском непрозрачном экране (рис. 96).

Если ширина каждой щели b, ширина непрозрачной части между щелями a, то величина d = a + b называется постоянной решетки или ее периодом.

Пусть на решетку, постоянная которой равна d, нормально падает плоская волна, длина которой λ . Из принципа Гюйгенса следует, что волны, дифрагировавшие на щелях, распространяются за решеткой по всем направлениям в пространстве (рис. 97).

Для наблюдения дифракционной картины на экране между ним и решеткой размещают собирающую линзу таким образом, чтобы экран находился в фокальной плоскости линзы (см. рис. 97). Собирающая линза фокусирует на экране, падающие на нее параллельные лучи (вторичные волны).

В зависимости от разности хода между вторичными волнами, испущенными разными щелями, они интерферируют друг с другом, усиливая или ослабляя друг друга. На экране получается дифракционная картина в виде системы светлых и темных полос (см. рис. 97). Наиболее яркие дифракционные максимумы получили название главных дифракционных максимумов.

При нормальном падении света на дифракционную решетку условие возникновения главных дифракционных максимумов, наблюдаемых под углами θ, имеет вид (рис. 98):

(1)

Здесь m — порядок максимума или порядок спектра, λ — длина волны падающего излучения.
Полученное условие определяет направления распространения света в пространстве, по которым на отрезке Δl=dsinθ укладывается целое число длин волн mλ  (см. рис. 98). Следовательно, при выполнении условия (1) вторичные волны от всех щелей решетки приходят в точку наблюдения синфазно (с фазами, отличающимися на число, кратное 2π) и усиливают друг друга.

Между максимумами интенсивности расположены минимумы, так как при изменении угла θ на отрезке Δl уже не будет укладываться целое число длин волн. Следовательно, вторичные волны приходят в точку наблюдения, ослабляя друг друга.

Из условия возникновения главных дифракционных максимумов (1) следует, что при m = 0 для любых длин волн θ = 0 . Следовательно, прямо по центру решетки образуется нулевой максимум, который называется также центральным максимумом. Дифракционные максимумы, соответствующие m = 1 , образуют спектр первого порядка, m = 2 — спектр  второго порядка и т. д. (см. рис. 97). Количество максимумов m в дифракционной картине ограничено, поскольку  |sinθ|≤ 1 . Максимальный порядок спектра m_max ,  который дает дифракционная решетка, при нормальном падении света на нее, определяется из условия |sinθ|≤ 1. Тогда из соотношения (1) следует взять целую часть отношения: 

(2)

т. е. зависит от периода решетки и длины световой волны. Отметим, что при определении максимального порядка спектра необходимо брать целую часть числа m_max.

Как следует из соотношения (2)  для получения спектра первого порядка (m_max = 1), необходимо,  чтобы период решетки был больше длины световой волны (d>λ).

При падении на решетку белого света центральный максимум (m = 0) представляет собой изображение источника (рис. 99, а), так как в этом направлении собирается излучение всех длин волн. Для всех максимумов ненулевого порядка (m0) в дифракционной решетке синус угла отклонения прямо пропорционален длине волны падающего излучения (sinθ~λ). Следовательно, красные лучи, имеющие большую длину волны, чем синие, отклоняются дифракционной решеткой сильнее (рис. 99, б, в). Таким образом, при освещении решетки белым светом справа и слева от центрального максимума наблюдаются максимумы первого, второго и более высоких порядков, обращенных фиолетовым краем к центру дифракционной картины, а красным от нее (рис. 99, а).

С увеличением числа щелей в дифракционной решетке возрастает количество световой энергии, пропускаемой решеткой, следовательно, интенсивность главных максимумов при этом увеличивается. Кроме того, главные максимумы из расплывчатых превращаются в резкие и узкие, которые разделены практически темными промежутками, так как вторичные максимумы очень слабы и составляют не более 5 % от главного (рис. 100). Поэтому при падении монохроматического излучения на решетки, в которых число штрихов на 1 см достигает 10⁵ , дифракционный спектр состоит из очень резких линий.

Вопросы к параграфу

1. Что называют дифракцией света? При каких условиях ее наблюдают?
2. В чем сущность принципа Гюйгенса?
3. Почему, когда оркестр, удаляясь, зашел за угол дома, через некоторое время слышны лишь звуки барабана и труб-басов?
4. В чем сущность принципа Гюйгенса — Френеля?
5. В чем сходство и различие между интерференцией и дифракцией?
6. Что называют дифракционной решеткой? Периодом решетки?
7. Запишите формулу для определения максимумов интенсивности, создаваемой дифракционной решеткой.
8. Почему близорукие люди щурят глаза, чтобы лучше видеть?
9. Как можно повысить точность измерения длины волны с использованием дифракционной решетки?
10. В чем преимущество для дифракционной решетки: а) большого числа щелей; б) малого периода решетки?
11. Чем можно объяснить радужную окраску компакт-дисков?
12. Чем можно объяснить радужный свет вокруг уличного фонаря, если на него посмотреть сквозь ресницы, прищурив глаз?

 

Пример решения задачи

На дифракционную решетку, имеющую , падает нормально монохроматическое излучение длиной волны λ = 550 нм. Определите наибольший порядок  дифракционного максимума, который можно наблюдать.

Дано:

,

 - ? 

 Решение: 

  Условие дифракционных максимумов:

.

Следовательно .

Наибольший порядок   дифракционного максимума наблюдается при угле θ, близком к углу 90°. Вследствие этого будем считать, что

,

тогда наибольший порядок максимума находится по формуле:

.

Для определения   необходимо взять целую часть полученного значения:

.

Ответ:  = 3.

Упражнение 12

1. Под каким углом θ наблюдается максимум третьего порядка  при  нормальном падении света длиной волны λ=840 нм на дифракционную решетку с периодом ?
2. Рассчитайте число штрихов N на миллиметр дифракционной решетки, если измеренный угол θ=46°43′ и красная линия спектра кадмия первого порядка имеет длину волны λ=644 нм. Сделайте аналогичные вычисления, если под этим углом видна линия второго порядка.
3. Сколько штрихов  N на 1 см должна иметь дифракционная решетка, если спектр второго порядка отсутствует в видимой области?
4. Определите наибольший порядок m_max спектра, наблюдаемого при нормальном падении монохроматического света на дифракционную решетку, имеющую N=, если длина волны света λ=520 нм.
5. Монохроматический свет падает нормально на дифракционную решетку. Дифракционный максимум первого порядка наблюдается под углом θ=12°. Сколько других порядков  m может наблюдаться и под какими углами?
6. Свет с длинами волн от λ₁=400 нм до λ₂=780 нм падает нормально на дифракционную решетку. В каких порядках может произойти перекрытие максимумов и минимумов? Зависит ли ответ от ширины щели?
7. Когда на решетку с периодом d=1,3 мкм нормально падает свет с длиной волны λ=500 нм, наблюдаются спектры первого и второго порядка, третий порядок не наблюдается. Объясните этот случай.
8. Угол дифракции φ=54,8° для синей и красной линий совпадает для решетки, имеющей Длина волны синей линии λ_с=454 нм. Определите длину волны λ_к красной линии и сделайте вывод о номерах порядков дифракции для обоих цветов.
9. Покажите, что создаваемые решеткой спектры второго и третьего порядков в случае белого света всегда будут перекрываться.
10. Две дифракционные решетки, имеющие  и , освещаются поочередно одинаковым светом. Определите, какая из решеток дает более широкий спектр при одинаковых условиях эксперимента.
11. Дифракционная решетка, имеющая , освещается белым светом, падающим нормально на решетку. Дифракционные максимумы какого наибольшего порядка m_max можно наблюдать: а) в красной области спектра (λ₁=760 нм); б) в фиолетовой области спектра (λ₂=400 нм)?
12. Белый свет с длинами волн от λ₁=400 нм до λ₂=700 нм падает нормально на дифракционную решетку, имеющую . Определите разность углов дифракции (угловую ширину) Δθ спектра первого порядка на экране.
13. Дифракционная решетка освещается падающим на нее нормально светом с длиной волны λ₁=589 нм. На экране, отстоящем от решетки на расстоянии l=42 см, дифракционный максимум первого порядка находится на расстоянии  x₁=2,48 см от центрального максимума. При замене источника дифракционный максимум второго порядка находится на расстоянии x₂=3,84 см от центрального максимума. Определите длину волны λ₂  света излучаемого этим источником.