§ 7. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания в контуре. Формула Томсона. Превращения энергии в колебательном контуре

Колебательные процессы возможны не только в механических системах. При определенных условиях и в электрических цепях возникают колебания силы тока и напряжения и других электромагнитных величин. Какие это условия? Как вычислить период электромагнитных колебаний? Какие аналогии существуют между колебаниями различной природы?

Электрической емкостью C конденсатора называют физическую величину, характеризующую его способность накапливать электрические заряды и равную отношению заряда q конденсатора к напряжению U между его обкладками:  Единицей электрической емкости в СИ является 1 фарад (1 Ф).
Энергия электростатического поля конденсатора: .
Энергія магнитного поля катушки с током:  ,  L — индуктивность катушки, I — сила тока в цепи. Единицей индуктивности в СИ является 1 генри (1 Гн).
Возникновение электродвижущей силы (ЭДС) в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, проходящего сквозь него, называется явлением электромагнитной индукции.
Под явлением самоиндукции понимают возникновение в замкнутом проводящем контуре ЭДС индукции, создаваемой вследствие изменения силы тока в самом контуре.
Правило Ленца: возникающий в замкнутом проводящем контуре индукционный ток имеет такое направление, при котором созданный им магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром, стремится компенсировать изменение магнитного потока, вызвавшее данный ток.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно со­еди­ненных конденсатора электроемкостью С и катушки индуктивностью L  (рис. 52, а), называемую колебательным контуром или LC-контуром. Если электрическое сопротивление контура можно считать равным нулю (R = 0), то его называют идеальным. Идеальный колебательный контур является упрощенной моделью реального колебательного контура.
Подключив (при помощи ключа К) источник тока, зарядим конденсатор до напряжения U₀, сообщив ему заряд q₀ (рис. 52, б). Следовательно, в начальный момент времени (t = 0) конденсатор заряжен так, что на его обкладке 1 находится заряд +q₀, а на обкладке 2 — заряд −q₀, при этом . Электрическое поле, созданное зарядами обкладок конденсатора, обладает энергией 

Рассмотрим процесс разрядки конденсатора в колебательном контуре. После соединения заряженного конденсатора с катушкой (при помощи ключа К) (рис. 52, в) он начнет разряжаться, так как под действием электрического поля, создаваемого зарядами на обкладках конденсатора, свободные электроны будут перемещаться по цепи от отрицательно заряженной обкладки к положительно заряженной. На рис. 52, в стрелкой показано начальное направление тока в электрической цепи.

Таким образом, в контуре появится нарастающий по модулю электрический ток, сила I(t) которого будет изменяться с течением времени (рис. 53, а). Но мгновенная разрядка конденсатора невозможна, вследствие явления самоиндукции. Действительно, в катушке индуктивности возникнет изменяющийся во времени магнитный поток, который вызовет появление ЭДС самоиндукции. Согласно правилу Ленца ЭДС самоиндукции стремится противодействовать вызвавшей ее причине, т. е. увеличению по модулю силы тока. Вследствие этого, модуль силы тока в колебательном контуре будет в течение некоторого промежутка времени плавно возрастать от нуля до максимального значения I_0, определяемого индуктивностью катушки и электроемкостью конденсатора (рис. 53, б).

При разрядке конденсатора энергия его электрического поля превращается в энергию магнитного поля катушки с током. Согласно закону сохранения энергии суммарная энергия идеального колебательного контура остается постоянной с течением времени. Следовательно, уменьшение энергии электрического поля конденсатора равно увеличению энергии магнитного поля катушки:

,

где q(t) — мгновенное значение заряда конденсатора и I(t) — сила тока в катушке в некоторый момент времени t после начала разрядки конденсатора.
В момент полной разрядки конденсатора (q = 0) сила тока в катушке I(t) достигнет своего максимального по модулю значения I₀ (см. рис. 53, б). В соответствии с законом сохранения энергии запасенная в конденсаторе энергия электрического поля перейдет в энергию магнитного поля, запасенную в этот момент в катушке:

После разрядки конденсатора сила тока в катушке начинает убывать по модулю. Это также происходит не мгновенно, поскольку вновь возникающая ЭДС самоиндукции согласно правилу Ленца создает индукционный ток. Он имеет такое же направление, как и уменьшающийся по модулю ток в цепи, и поэтому «поддерживает» его.
В результате, к моменту исчезновения тока заряд конденсатора достигнет максимального значения q₀. При этом его обкладка, первоначально заряженная положительно, будет заряжена отрицательно. Далее процесс повторится, отличаясь лишь тем, что электрический ток в контуре будет проходить в противоположном направлении (см. рис. 53, а).
Таким образом, в идеальном LC-контуре будут происходить периодические изменения значений силы тока и напряжения, причем полная энергия контура будет оставаться постоянной. В этом случае говорят, что в контуре возникли свободные электромагнитные колебания.
Свободные электромагнитные колебания в LC-контуре — это периодические изменения заряда на обкладках конденсатора, силы тока и напряжения в контуре, происходящие без пополнения энергии от внешних источников и без потерь энергии на тепловыделение и излучение.
Таким образом, существование свободных электромагнитных колебаний в контуре обусловлено перезарядкой конденсатора, вызванной возникновением ЭДС самоиндукции в катушке. Заметим, что заряд q(t) конденсатора и сила тока I(t) в катушке достигают своих максимальных значений q₀ и I₀ в различные моменты времени (см. рис. 53, а, б)  (со сдвигом на ).
Наименьший промежуток времени, в течение которого LC-контур возвращается в исходное состояние (к начальным значениям заряда на каждой из обкладок), называется периодом свободных (собственных) электромагнитных колебаний в контуре.
Получим формулу для периода свободных электромагнитных колебаний в контуре, используя закон сохранения энергии по аналогии с механическими колебаниями. Поскольку полная энергия идеального LC-контура, равная сумме энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки, сохраняется, то в любой момент времени справедливо равенство:

.

(1)

Процессы, происходящие в колебательном контуре, аналогичны колебаниям пружинного маятника. Для полной механической энергии пружинного маятника в любой момент времени:

.

(2)

где k — жесткость пружины, m — масса груза, x — проекция смещения тела от положения равновесия, v_x — проекция его скорости на ось Ox.
Проанализируем соотношения (1) и (2). Видно, что энергия электрического поля конденсатора  является аналогом потенциальной энергии упругой деформации пружины . Соответственно, энергия магнитного поля катушки ,  которая обусловлена упорядоченным движением зарядов, является аналогом кинетической энергии груза .
Следовательно, аналогом координаты x(t) пружинного маятника при колебаниях в электрическом контуре является заряд конденсатора q(t). Тогда, соответственно, аналогом проекции скорости груза v_x(t) будет сила тока I(t) в колебательном контуре, поскольку сила тока характеризует скорость изменения заряда конденсатора со временем.
Следуя проведенной аналогии, заменим в формуле для периода колебаний пружинного маятника  жесткость k на и массу m на индуктивность L. Тогда для периода свободных колебаний в LC-контуре получим формулу:

.

(3)

которая называется формулой Томсона.
Исходя из сказанного, сведем рассмотренные аналогии между физическими величинами при электромагнитных и механических колебаниях в таблицу 6.
Для наблюдения и исследования электромагнитных колебаний применяют электронный осциллограф, на экране которого наблюдают осцилло­грамму колебаний U(t) (рис. 54).

Таблица 6. Сопоставление физических величин, характеризующих механические и электромагнитные колебания
Механические колебания пружинного маятника	Электромагнитные колебания в идеальном колебательном контуре
m (масса тела)	L (индуктивность катушки)
k (жесткость пружины)	(величина, обратная емкости)
x(t) (координата тела)	q(t) (заряд конденсатора)
vx(t) (проекция скорости тела)	I(t) (сила тока)
(потенциальная энергия упругой деформации пружины)	(энергия электрического поля конденсатора)
(кинетическая энергия груза)	(энергия магнитного поля катушки)
(период колебаний)	(период колебаний)
(циклическая частота колебаний)	(циклическая частота колебаний)

Зависимость заряда конденсатора от времени имеет такой же вид, как и зависимость координаты тела, совершающего гармонические колебания, от времени:

.

Также по гармоническому закону изменяются сила тока (но с другой начальной фазой) в цепи и напряжение на конденсаторе.

Зависимость силы тока от времени в цепи колебательного контура имеет такой же вид, как и проекции скорости тела, совершающего гармонические колебания, от времени:

где, .

Зависимость напряжения на конденсаторе в колебательном контуре в соответствии с определением электроемкости 

Для определения начальной фазы φ₀ и максимального заряда q₀ необходимо знать заряд конденсатора и силу тока в катушке в начальный момент времени (t = 0).
Отметим, что колебательный контур, в котором происходит только обмен энергией между конденсатором и катушкой, называется закрытым.
Полная энергия идеального колебательного контура (R = 0) с течением времени сохраняется, поскольку в нем при прохождении тока теплота не выделяется. Реальный колебательный контур всегда имеет некоторое электрическое сопротивление R, которое обусловлено сопротивлением катушки и соединительных проводов. Это приводит к тому, что электромагнитные колебания в реальном контуре с течением времени затухают, тогда как в идеальном контуре они считаются происходящими сколь угодно долго.
Таким образом, механическим аналогом идеального колебательного контура является пружинный маятник без учета трения, а механическим аналогом реального колебательного контура — пружинный маятник с учетом трения.
Колебательный LC-контур широко используется в современных микросхемах для средств электроники и электротехнического оборудо­вания.

Вопросы к параграфу

1. Из каких элементов состоит идеальный колебательный контур?
2. Какие электромагнитные колебания в контуре называются свободными?
3. От каких физических величин зависит период свободных колебаний в идеальном колебательном контуре?
4. По какому закону изменяются зависимости заряда конденсатора и силы тока в катушке идеального колебательного контура с течением времени?
5. Почему в контуре, состоящем из конденсатора и резистора, не могут возникнуть электромагнитные колебания?
6. В колебательном контуре изменили начальное значение заряда конденсатора. Какие величины, характеризующие электромагнитные колебания в контуре, изменятся, а какие останутся прежними?
7. Как распределена запасенная в идеальном колебательном контуре энергия между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки в идеальном колебательном контуре в моменты времени  после начала разрядки конденсатора?
8. Зависит ли период свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре от запасенной в нем энергии?
9. Чем отличаются процессы электромагнитных колебаний в реальном и идеальном колебательных контурах?

 

Примеры решения задач

1. Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора емкостью C = 400 пФ и катушки индуктивностью L = 10 мГн. Определите максимальное значение силы тока I₀ в контуре, если максимальное значение напряжения на конденсаторе U₀= 500 B.

Дано:

I₀  - ?

Решение: 

Максимальная энергия электрического по­ля конденсатора

,

а максимальная энергия магнитного поля катушки:

,

Так как контур идеальный (R = 0), то его полная энергия сохраняется с течением времени. По закону сохранения энергии: W_C = W_L, т. е.

.

Откуда:

Ответ: I₀ = 0,10 A.

2. При изменении емкости конденсатора идеального LC -контура на  ΔC = 50 мФ частота свободных электромагнитных колебаний в нем увеличилась с  ν₁ = 100 кГц до ν₂ = 120 кГц. Определите индуктивность катушки L контура.

Дано:

ΔC = 
ν₁ =  
ν_{2 =} 

L - ?

Решение:

Частота колебаний в контуре 

.

Поскольку 

Из условия задачи получаем систему уравнений 

Откуда:

Вычитая из первого уравнения второе, получаем:

Откуда находим:

Ответ:  L = 0,15 Гн.

Упражнение 7

1. Определите период T свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкостью, C = 15 мкФ и катушки индуктивностью L = 2,5 мГн.

2. Определите период колебаний колебательного контура, представленного на рисунке 55.
3. Конденсатор емкостью C = 1,2 мкФ соединен с катушкой индуктивностью L = 16 мкГн. Определите частоту ν свободных электромагнитных колебаний в контуре.
4. Как изменится период свободных электромагнитных колебаний в кон­туре, если индуктивность L катушки контура увеличить (уменьшить) в n = 16 раз при неизменной емкости конденсатора?
5. Определите напряжение U на конденсаторе емкостью C  в момент времени: а)  б)   если в начальный момент времени t₀ = 0 напряжение на конденсаторе равно U₀ = 48 B, а сила тока в катушке I₀ = 0, Т — период колебаний в контуре.

6. Входной контур радиоприемника содержит катушку индуктивностью L = 0,32 мГн. В каких пределах должна изменяться емкость C конденсатора контура, чтобы радиоприемник мог принимать сигналы радиостанции, работающей в диапазоне частот от ν₁=8,0 МГц до ν₂=24,0 МГц?
7. Имеются два колебательных контура. Один содержит конденсатор емкостью C₁ = 240 мФ и катушку индуктивностью L₁ = 10,0 мГн, второй — C₂ = 260 мФ и L₂ = 6,00 мГн. Настроены ли эти контуры в резонанс? Во сколько раз k необходимо изменить емкость C₂ или индуктивность L₂, чтобы настроить эти контуры в резонанс?
8. В идеальном колебательном контуре, содержащем конденсатор емкостью С=52 мкФ, напряжение на конденсаторе изменяется по закону  Определите период T  электромагнитных колебаний, закон изменения силы тока I(t) , максимальную энергию электрического W_Cmax и магнитного  W_Lmax поля.
9. Идеальный колебательный контур содержит катушку индуктивностью L=2,0 мГн и плоский конденсатор, площадь каждой обкладки которого S=1,2·10³ см², а расстояние между ними d=1,0 мм . Определите диэлектрическую проницаемость ε среды, заполняющей  пространство между обкладками, если максимальное значение силы тока в контуре I₀=12 мА, а максимальное значение напряжения  U₀=10 В.
10. Во сколько раз  k уменьшится энергия заряженного конденсатора в идеальном колебательном контуре после подключения конденсатора к катушке индуктивности через промежуток времени   ( T - период свободных колебаний)?
11. Период колебаний в идеальном колебательном контуре равен T=4,0 мс . Определите минимальный промежуток времени τ_min, через который энергия электромагнитных колебаний в контуре распределится в отношении 1:4 между конденсатором и катушкой.
12. В колебательном контуре индуктивность катушки L=0,20 Гн, а максимальное значение силы тока I₀=40 мА. Найдите энергию электрического поля  W_C конденсатора и магнитного поля W_L катушки в тот момент, когда мгновенное значение силы тока в два раза меньше его максимального значения.
13. В колебательном контуре с конденсатором  емкостью C=4,0 мкФ резонанс наступает при частоте ν₁=400 Гц. Определите емкость С₂  второго конденсатора, подключенного параллельно к исходному, если резонансная частота становится равной ν₂=100 Гц.
14. Если в LC- контуре к конденсатору емкостью C  параллельно присоединить конденсатор емкостью C₁=4C, то частота колебаний в контуре уменьшится на Δν=400 Гц . Определите начальную частоту  ν₀ колебаний  в контуре.
15. Идеальный колебательный контур содержит катушку индуктивности и два конденсатора одинаковой емкости. При параллельном соединении конденсаторов период колебаний в контуре равен T=16,0 мкс. Определите период T₁ колебаний  в контуре, если эти конденсаторы соединить последовательно.