§ 3. Превращения энергии при гармонических колебаниях

При гармонических колебаниях полная механическая энергия системы остается неизменной, хотя скорость груза и его смещение непрерывно изменяются с течением времени. Какие превращения энергии наблюдаются в системе при этом? Как вычислить кинетическую или потенциальную энергию в любой момент времени?

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий. Кинетической энергией тело обладает вследствие своего движения, а потенциальная энергия определяется взаимодействием тела с другими телами или силовыми полями. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Привести в движение колебательную систему можно либо посредством отклонения ее из положения равновесия, либо сообщая телу начальную скорость (т. е. посредством толчка). В первом случае мы сообщаем системе дополнительную потенциальную энергию, а во втором — дополнительную кинетическую энергию.
Если силой трения можно пренебречь, то при колебаниях механическая энергия системы сохраняется. При этих условиях для данной системы выполняется закон сохранения механической энергии:

.

Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю. При отклонении маятника на угол  (рис. 19, 20), соответствующий его максимальному смещению от положения равновесия (тело в точке С), потенциальная энергия маятника максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

.

Поскольку в момент прохождения положения равновесия (тело в точке В) потенциальная энергия маятника равна нулю W_п = 0, то из закона сохранения механической энергии следует (см. рис. 20), что , т. е. что кинетическая энергия маятника (а следовательно, и скорость) в этот момент будет максимальна:

.

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия маятника полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения — кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную.
Приравнивая полные механические энергии маятника в точках С и В, получим:

.

(1)

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

.

(2)

В любом промежуточном положении

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 21).
В крайних точках, когда  и скорость маятника v = 0, кинетическая энергия
груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины (см.рис 21, а, г):

Таким образом, механическая энергия маятника пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний.
В положении равновесия, когда   , вся энергия мятника переходит в кинетическую энергию груза (см. рис. 21, д):

где υ_max — модуль максимальной скорости груза при колебаниях.
В промежуточных точках полная энергия:

С учетом выражений кинематического закона движения груза  и проекции скорости груза , а также для , находим его потенциальную энергию:

и кинетическую энергию:

в произвольный момент времени t .

Тогда полная механическая энергия пружинного маятника в этот же момент времени есть величина постоянная и равная

Таким образом, начальное смещение  определяет максимальную потенциальную, а скорость υ_max определяет максимальную кинетическую энергию колеблющегося тела.

При отсутствии в системе потерь энергии процесс колебаний сопровождается только переходом потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Такие превращения энергии происходят с вдвое большей частотой (рис. 22, а, б), чем сами колебания. Действительно, дважды за период механическая энергия будет полностью превращаться в потенциальную (в двух крайних положениях) и дважды за период — в кинетическую (при прохождении через положение равновесия) (рис. 22, в).

Вопросы к параграфу

1. Какой энергией обладает математический маятник при прохождении положения равновесия?
2. Какой энергией обладает пружинный маятник при наибольшем смещении от положения равновесия?
3. Чем отличаются потенциальные энергии математического и пружинного маятников?
4. Как изменяется энергия маятника при колебаниях?
5. Запишите формулы для определения механической энергии колеблющегося тела при прохождении им положения равновесия и при максимальном смещении из него.
6. Как связана энергия пружинного (математического) маятника (гармонического осциллятора) с его амплитудой?

Примеры решения задач

1. Определите полную механическую энергию W колебаний груза массой m = 100 г на пружине, если он совершает гармонические колебания с циклической частотой  и амплитудой А = 4,0 см.

Решение

Энергия колебаний груза:

где k — жесткость пружины.

Так как циклическая частота колебаний груза определяется

 , то .

Окончательно,

Ответ: W = 12 мДж. 

1-1.         Математический маятник при колебаниях от одного крайнего положения до другого смещается на расстояние  и при прохождении положения равновесия достигает скорости, модуль которой  . Определите период  T колебаний маятника.

Решение

По закону сохранения механической энергии

Откуда

Ответ: 

1-2. Груз массой  находится на гладкой горизонтальной поверхности и закреплен к опоре на легкой пружине жесткостью  . Его смещают на расстояние  от положения равновесия и сообщают в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой  . Определите потенциальную  и кинетическую энергию  груза в начальный момент времени. Запишите кинематический закон движения груза . 

Дано:

 - ? - ?

Решение

Потенциальная энергия груза определяется выражением:

, 

Кинетическая энергия груза определяется выражением:

 , 

Начальное смещение груза не является амплитудой, так как вместе с начальным отклонением грузу сообщили и скорость. Однако полная энергия может быть выражена через амплитуду колебаний

Откуда:

Циклическая частота:

В начальный момент времени   координата груза .

Откуда начальная фаза 

, 

Тогда закон гармонических колебаний имеет вид (рис. 22-1):

Ответ: , ,  

Упражнение 3

1. В каких точках траектории при колебаниях математического маятника максимальна энергия:
а) кинетическая W_к;
б) потенциальная W_п? Чему она равна?

2. Математический маятник массой m = 100 г при прохождении положения равновесия имеет скорость, модуль которой .  Опре­делите:
а) полную энергию W_мех маятника;
б) максимальную высоту h_max, на которую поднимается маятник.

3. Математический маятник массой m = 100 г выводят из положения равновесия, поднимая его на высоту h = 10 см над начальным уровнем. Определите:
а) изменение потенциальной энергии маятника ΔW_п при его отклонении от положения равновесия;
б) его максимальную кинетическую энергию (W_к)_max.

4. Тело совершает гармонические колебания. Определите отношение кинетической энергии к ее потенциальной энергии для моментов времени, когда смещение тела от положения равновесия составляет:
а)  б)  в) x = A.
5. Груз массой m = 250 г совершает гармонические колебания на пружине жесткостью  с амплитудой A = 3,6 см. Определите полную механическую энергию колебаний W, потенциальную W_п и кинетическую W_к энергию в момент времени, когда смещение груза от положения равновесия х = 2,2 см. Потенциальную энергию в положении равновесия считать равной нулю.

6. Груз массой m = 100 г, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, закреплен на  пружине жесткостью  прикрепленной к опоре. Его смещают из положения равновесия на расстояние х₁ = 5,0 см и сообщают ему в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой . Чему равны потенциальная W_п и кинетическая W_к энергия груза в этот момент времени? Запишите кинематический закон его движения.

7. Пружинный маятник, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, вывели из положения равновесия и без толчка отпустили. Через какую часть n периода T кинетическая энергия прикрепленного к пружине тела будет равна потенциальной энергии W_п  деформированной пружины?

8. Определите полную механическую энергию W_мех гармонических колебаний материальной точки, если известны ее масса m, частота  и амплитуда А колебаний.

9. Заполните приведенную таблицу для колебаний математического маятника, изображенного на рис. 22-2, если шарик массой  , высота его подъема от положения равновесия .

10. Определите амплитуду А гармонических колебаний тела, если полная механическая энергия колебаний , а максимальная сила, действующая на тело, — .
11. Вертикальный пружинный маятник совершает гармонические колебания с амплитудой . Определите смещение  маятника от положения равновесия в точке, в которой на него действует возвращающая сила, модуль которой , если его полная механическая энергия маятника .
12. Материальная точка массой  совершает гармонические колебания с периодом T и начальной фазой  . Максимальная кинетическая энергия колеблющейся точки равна . Определите амплитуду A  колебаний, модуль максимальной скорости  точки и запишите кинематический закон ее движения .
13. Пуля массой , движущаяся горизонтально со скоростью, модуль которой , попала в подвешенный на легкой нити деревянный шар массой  и застряла в нем. При этом нить отклонилась от вертикали на угол . Определите период T колебаний шара.
14. Телу массой , подвешенному на пружине жесткостью , в положении равновесия сообщают скорость , направленную вертикально вниз. Определите путь, пройденный телом за промежуток времени от  до  , считая возникающие колебания гармоническими.
15. Пусть период колебаний математического маятника в шахте глубиной  равен T . Определите, на какую высоту H над поверхностью Земли необходимо поднять этот маятник, чтобы  период его колебаний не изменился.