§ 25. Моделирование движения тела в среде с сопротивлением

25.3. Создание документальной математической модели (этап 3а)

В вертикальной плоскости движения камня построим прямоугольную систему координат, начало координат которой размещено в точке вылета камня. Пусть положение камня в полете определяется парой координат , в этой системе координат.

Будем строить универсальную модель движения материального шара в некоторой газообразной или жидкой среде.

Для описания движения воспользуемся вторым законом Ньютона в векторной форме:

где — масса шара;

— вектор ускорения шара;

— вектор равнодействующей всех сил, действующих на шар.

Перечислим силы, действующие на шар:

— сила тяжести , направленная вниз (пример 25.2);

— архимедова выталкивающая сила , направленная вверх (пример 25.3);

— сила сопротивления среды движущемуся телу, которая направлена против вектора скорости и имеет две составляющие: силу вязкого трения среды о поверхность тела и силу лобового сопротивления среды (пример 25.4).

В результате для шара, движущегося в некоторой среде, уравнение второго закона Ньютона получает вид

Рассчитать положение движущегося тела позволяет выражение для его ускорения.

Если использовать известные формулы и значения величин (пример 25.5), то из уравнения второго закона Ньютона получаем

Распишем векторное уравнение как два уравнения для проекций векторов на координатные оси.

Используя обозначения примера 25.6, получаем

Пример 25.2. Для силы тяжести формула хорошо известна:

где — масса шара;

— вектор ускорения свободного падения, направленный вниз, со стандартной абсолютной величиной 9,81 м/с².

Пример 25.3. Архимедова сила рассчитывается по формуле:

где — плотность среды;

— объем шара;

— вектор ускорения свободного падения.

Пример 25.4. Формула для силы вязкого трения установлена опытным путем и носит название формулы Стокса.

Сила вязкого трения среды о движущийся шар радиуса вычисляется по формуле:

где — динамическая вязкость среды;

— вектор скорости шара.

Сила лобового сопротивления рассчитывается по формуле

где — безразмерный коэффициент, зависящий от формы тела;

— плотность среды;

— площадь сечения тела, поперечного направлению движения;

— абсолютная величина вектора скорости тела.

Пример 25.5. Для шара радиуса c плотностью известны следующие формулы для величин, входящих в выражения для сил.

Значение безразмерного коэффициента , зависящего от формы тела, для шара установлено опытным путем и равно 0,4.

Пример 25.6. Абсолютная величина вектора скорости находится по известной формуле:

Выражения для проекций ускорения тела при движении можно упростить, если ввести переменный коэффициент сопротивления среды