§ 18. Увагнутыя і выпуклыя сферычныя люстры. Пабудова відарысаў

Штораніцы, мыючыся, вы глядзіце ў плоскае люстра і бачыце свой выразны адбітак у ім. Але паверхня люстра можа быць не толькі плоскай, але і скрыўленай. Паралельныя прамені святла, адбіваючыся ад скрыў­ленай паверхні, не застаюцца паралельнымі. Але адбі­ваюцца яны ўпарадкавана і могуць як сыходзіцца, так і разыходзіцца (мал. 111).

Самы просты прыклад скрыўленай адбіваючай паверхні — сферычная паверхня. Люстра з такой паверхняй называюць сферычным. 

Адрозніваюць два тыпы сферычных люстр: увагнутыя, калі люстраной з’яўляецца ўнутраная паверхня сферы (мал. 112, а), і выпуклыя, калі — знешняя (мал. 112, б). 

Асноўныя характарыстыкі сферычных люстр

Разгледзім асноўныя характарыстыкі сферычных люстр на прыкладзе ўвагнутага люстра (мал. 113). Цэнтр сферы O называецца аптычным цэнтрам люстра, яго радыус R — радыусам люстра. Вяршыня шаравога сегмента P называецца полюсам люстра. Прамая лінія OP, якая праходзіць праз аптычны цэнтр і полюс люстра, называецца галоўнай аптычнай воссю. Любая прамая, напрыклад прамая OM, якая праходзіць праз аптычны цэнтр O і паверхню люстра (за выключэннем яго галоўнай аптычнай восі), называецца пабочнай аптычнай воссю.

Паколькі паверхня люстра сферычная, то з яе геаметрычных улас­цівасцей вынікае, што любая аптычная вось перпендыкулярна да паверхні люстра. Таму прамень, што ідзе ў напрамку да люстра па якой-небудзь з аптычных восей, адбіўшыся ад люстра, пойдзе па той жа аптычнай восі, але ўжо ў адваротным напрамку.

У плоскіх люстрах відарыс кропкавай крыніцы заўсёды з’яўляецца кропкавым. Сферычныя люстры даюць нескажоныя відарысы толькі ў тым выпадку, калі прадмет досыць малы і прамені распаўсюджваюцца паблізу ад галоўнай аптычнай восі.

Калі накіраваць пучок праменяў, паралельных галоўнай аптычнай восі сферычнага люстра, то ўсе яны перасякуць галоўную аптычную вось у адным і тым жа пункце (гл. мал. 113, б). Разгледзім прамень KM, паралельны галоўнай аптычнай восі OP  (гл. мал. 113, б). OM— нармаль да паверхні люстра. Значыць, вугал KMO=α з’яўляецца вуглом падзення. Па законе адбіцця святла прамень, які падае на сферычнае люстра, і адбіты прамень утвараюць з радыусам люстра аднолькавыя вуглы α і ляжаць з ім у адной плоскасці KMO =OMF. Пасля адбіцця ад люстра прамень пройдзе праз пункт F на галоўнай аптычнай восі (мал. 114, а). Паколькі трохвугольнік ΔOMF раўнабедраны, то OF=MF. Калі адлегласць h<<R, то FP≈MF. Значць, F≈PF≈FO=R/2. 

Калі накіраваць пучок праменяў паралельна галоўнай аптычнай восі ўвагнутага сферычнага люстра, то ўсе яны перасякуць галоўную аптыч­ную вось у адным і тым жа пункце на адлегласці F=R/2  (мал. 113, 114, а).
Аналагічныя пабудовы можна выканаць і для выпуклага люстра (мал. 114, б).
Толькі ў адрозненні ад увагнутага люстра перасякацца ў фокусе будуць не прамені, а іх прадаўжэнні. Гэты пункт знаходзіцца на галоўнай аптычнай восі на адлегласці  ад полюса люстра — ва ўяўным фокусе.

Пункт F (гл. мал. 113, 114) называецца галоўным фокусам люстра. Адлегласць PF = F ад вяршыні люстра да фокуса называецца фокуснай адлегласцю. Фокусная адлегласць люстра роўна палове радыуса яго крывізны. Плоскасць, якая праходзіць праз галоўны фокус F лінзы перпендыкулярна да галоўнай аптычнай восі, называецца факальнай. 

З уласцівасці абарачальнасці аптычных праменяў вынікае, што прамень, які ідзе ад крыніцы і праходзіць праз фокус F, пасля адбіцця пойдзе паралельна галоўнай аптычнай восі.

Пры падзенні пучка паралельных праменяў пад вуглом да галоўнай аптычнай восі прамені пасля адбіцця перасякуць пабочную аптычную вось у пункце, які называецца пабочным фокусам F′ (мал. 115).

Пабудова відарысаў у сферычных люстрах

Для пабудовы відарыса любога пункта ў сферычным люстры дастаткова пабудаваць ход двух любых праменяў у люстры і знайсці пункт іх перасячэння. Вядома, для гэтага трэба выбраць прамені, пабудаваць ход якіх у люстры прасцей за ўсё. 

Як правіла, для пабудоў выбіраюць адзін з чатырох стандартных (характэрных) праменяў (мал. 116):

- прамень (1) — праз цэнтр люстра — адбіты прамень пойдзе па тым жа напрамку ў адваротны бок; 

- прамень (2) — паралельны галоўнай аптычнай восі — адбіты прамень праходзіць праз галоўны фокус; 

- прамень (3) — праз галоўны фокус — адбіты прамень праходзіць паралельна галоўнай аптычнай восі;

- прамень (4) — падаючы на люстра ў яго полюсе — адбіты прамень ідзе сіметрычна галоўнай аптычнай восі.

Характарыстыкі відарысаў

Калі прадмет AB (гл. мал. 116, 117) перпендыкулярны да галоўнай аптычнай восі ва ўвагнутым сферычным люстры, то яго відарыс будзе таксама перпендыкулярны да гэтай восі. Таму дастаткова пабудаваць відарыс толькі пункта B. З уласцівасцей зваротнасці светлавога праменя вынікае, што прадмет AB і яго відарыс A₁B₁ можна памяняць месцамі. Калі прадмет знаходзіцца за аптычным цэнтрам люстра, то відарыс  прадмета — сапраўдны, адваротны і паменшаны — знаходзіцца паміж галоўным фокусам і цэнтрам люстра (мал. 117). 

Калі прадмет знаходзіцца паміж фокусам і аптычным цэнтрам люстра (гл. мал. 117), то відарыс A₁B₁ прадмета — сапраўдны, адваротны і павялічаны — знаходзіцца за цэнтрам люстра.

Калі прадмет знаходзіцца паміж полюсам люстра і яго фокусам, то відарыс A₁B₁ прадмета — уяўны, прамы і павялічаны — знаходзіцца за люстрам (мал. 118, а). 

Пабудуем відарыс прадмета AB у выпуклым люстры (мал. 118, б). Відарыс у такім люстры заўсёды атрымліваецца прамым, уяўным, паменшаным.

Усе магчымыя відарысы прадметаў у сферычных люстрах пабудаваны на малюнку 119.

Паколькі ўвагнутыя люстры факусіруюць любое электрамагнітнае выпраменьванне, то яны знаходзяць шырокае выкарыстанне ў радыёлакацыі, радыёсувязі, радыёастраноміі, тэлебачанні. У прыватнасці, увагнутыя люстры прымяняюць у тэлескопах — прыборах для назірання зорак, галактык.

Чарцёж першага пражэктара быў зроблены Леанарда да Вінчы ў Атлантычным кодэксе. Першы пражэктар быў пабудаваны ў 1779 г. рускім механікам І. П. Кулібіным.  У наш час шырока выкарыстоўваюцца святлодыёдныя пражэктары (мал. 120). Яны маюць рэкордна нізкае спажыванне электраэнергіі, вялікі рэсурс працы, невялікую масу, высокую кампактнасць і могуць працаваць у шырокім тэмпературным дыяпазоне. Першы люстраны тэлескоп-рэфлектар быў пабудаваны ў 1668 г. І. Ньютанам (мал. 121). Сучасныя тэлескопы-рэфлектары маюць люстры вялікага дыяметра. Так, дыяметр галоўнага люстра тэлескопа Маунт-Паламарскай абсерваторыі ў ЗША — 5 м, а дыяметр тэлескопа спецыяльнай абсерваторыі на Паўночным Каўказе ў Расіі — 6 м.